Se kilde til Rational rod-sætningen

Inden for [[matematik]] angiver '''rational rod-sætningen''' hvilke mulige [[rationale tal|rationale]] [[rod (matematik)|rødder]] et [[polynomium]] med [[heltal]]lige koefficienter kan have.

Sætningen siger at hvis det gælder at:
* ''a''<sub>0</sub>, ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub> ... ''a''<sub>n</sub> er hele tal hvor ''a''<sub>0</sub> ≠ 0 og ''a''<sub>n</sub> ≠ 0
* ''p'' og ''q'' er hele tal, hvor ''q'' ≠ 0 og p/q er en uforkortelig brøk (dvs. ''p'' og ''q'' er [[indbyrdes primisk]]e)
* ''p''/''q'' er en rod i polynomiet ''a''<sub>n</sub>''x''<sup>n</sup> + ''a''<sub>n-1</sub>''x''<sup>n-1</sup> ... ''a''<sub>0</sub>

Så gælder det at:
: ''p'' går op i ''a''<sub>0</sub>, og ''q'' går op i ''a''<sub>n</sub>.

== Anvendelse ==

Sætningen kan bruges til at afgøre om et polynomium med heltallige koefficienter har nogen rationale rødder, og i givet fald finde dem. Da sætningen giver restriktioner på tæller og nævner af fuldt forkortede rationale brøker som kan være rødder, kan alle muligheder for rationale rødder tjekkes for om de er rødder eller ej. På den måde kan alle rationale rødder findes eller det kan konstateres at der ikke er nogen rationale rødder. De eventuelt fundne rationale rødder kan [[Faktorisering|faktoriseres]] ud af polynomiet så man får et nyt polynomium med de samme rødder som det oprindelige polynomium på nær de allerede fundne rødder.

=== Tredjegradsligning ===

Den generelle [[tredjegradsligning]]

:<math>ax^3+bx^2+cx+d=0</math>

med heltallige koefficienter har tre komplekse løsninger. Hvis det findes at der ikke er nogle rationale løsninger, vil den eneste måde at udtrykke løsningerne [[algebraisk]] på være at bruge [[kubikrod|kubikrødder]]. Men hvis der findes rationale løsninger, kan brug af kubikrødder undgås. Hvis præcis en rational løsning ''r'' findes, så kan (''x'' - ''r'') faktoriseres ud af tredjegradspolynomiet ved at bruge [[polynomiumsdivision]]. Så vil man ende med et [[andengradspolynomium]] hvis rødder kan findes med formlen for rødder i andengradspolynomier

== Bevis ==

Lad ''P''(''x'') = ''a''<sub>''n''</sub>''x''<sup>''n''</sup> + ''a''<sub>''n''&minus;1</sub>''x''<sup>''n''&minus;1</sup> + ... + ''a''<sub>1</sub>''x'' + ''a''<sub>0</sub> hvor ''a''<sub>0</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub> ∈ '''Z''', og antag at ''P''(''p''/''q'') = 0 for indbyrdes primiske ''p'', ''q'' ∈ '''Z''':

:<math>P\left(\tfrac{p}{q}\right) = a_n\left(\tfrac{p}{q}\right)^n + a_{n-1}\left(\tfrac{p}{q}\right)^{n-1} + \cdots + a_1\left(\tfrac{p}{q}\right) + a_0 = 0.</math>

Hvis vi ganger med ''q''<sup>''n''</sup> på begge sider, flytter det konstante led til højre side, og faktoriserer ''p'' uden for parentes på den venstre side, får vi:

:<math>\qquad p(a_np^{n-1} + a_{n-1}qp^{n-2} + \cdots + a_1q^{n-1}) = -a_0q^n.</math>

Vi ser at ''p'' gange heltalsværdien i parentesen er lig med &minus;''a''<sub>0</sub>''q''<sup>''n''</sup>, så ''p'' går op i ''a''<sub>0</sub>''q''<sup>''n''</sup>. Men da ''p'' er indbyrdes primisk med ''q'' og dermed også til ''q''<sup>''n''</sup>, må det gå op i produktets anden faktor ''a''<sub>0</sub>.

Hvis vi i stedet flytter leddet med ''x''<sup>''n''</sup> til den højre side, og faktoriserer ''q'' uden for parentes, får vi:

:<math>\qquad q(a_{n-1}p^{n-1} + a_{n-2}qp^{n-2} + \cdots + a_0q^{n-1}) = -a_np^n.</math>

Og vi kan på tilsvarende vis konkludere at ''q'' må gå op i ''a''<sub>''n''</sub>.<ref>{{cite book|author=D. Arnold, G. Arnold|title=Four unit mathematics|publisher=Edward Arnold|year=1993|isbn=0-340-54335-3|pages=120–121}}</ref>

== Eksempler ==

=== Første ===

I polynomiet

:<math>2x^3+x-1</math>

vil enhver fuldt forkortet rational rod have en tæller som går op 1, og en nævner som går op i 2. Dvs. at de eneste mulige rationale rødder er ±1/2 og ±1. Da ingen af disse er rødder, er der ingen rationale rødder.

=== Andet ===

I polynomiet

:<math>x^3-7x+6</math>

vil de eneste mulige rationale rødder have en tæller der går op i 6, og en nævner der går op i 1. Så de eneste muligheder er ±1, ±2, ±3 og ±6. Af disse er 1, 2 og -3 rødder. Disse er alle polynomiets rationale rødder og dets eneste rødder, da et tredjegradspolynomium højst har 3 rødder.

=== Tredje ===

Enhver rational rod i polynomiet 

:<math>3x^3 - 5x^2 + 5x - 2 \,\!</math>

må være et af de 8 tal: ±1/1, ±1/3, ±2/1, ±2/3

== Referencer ==
<references/>

== Litteratur ==
* Charles D. Miller, Margaret L. Lial, David I. Schneider: ''Fundamentals of College Algebra''. Scott & Foresman/Little & Brown Higher Education, 3rd edition 1990, ISBN 0-673-38638-4, pp.&nbsp;216–221
* Phillip S. Jones, Jack D. Bedient: ''The historical roots of elementary mathematics''. Dover Courier Publications 1998, ISBN 0-486-25563-8, pp.&nbsp;116–117 ({{Google books|7xArILpcndYC|online copy|page=116}}) 
* Ron Larson: ''Calculus: An Applied Approach''. Cengage Learning 2007, ISBN 978-0-618-95825-2, pp.&nbsp;23–24 ({{Google books|bDG7V0OV34C|online kopi|page=23}})

== Eksterne henvisninger ==
* [http://planetmath.org/encyclopedia/RationalRootTheorem.html ''RationalRootTheorem''] på [[PlanetMath]]
* [http://www.cut-the-knot.org/Generalization/RationalRootTheorem.shtml Another proof that n<sup>th</sup> roots of integers are irrational, except for perfect nth powers] af Scott E. Brodie
* [http://www.purplemath.com/modules/rtnlroot.htm ''The Rational Roots Test''] på purplemath.com

[[Kategori:Rodfindingsalgoritmer]]
[[Kategori:Polynomier]]