Se kilde til Laplace-operatoren

{{matematikstub}}
<br />
'''Laplace-operatoren''' er en [[differentiale|differential]]-[[operator]], som skrives ∇<sup>2</sup>, ∆ eller ∇·∇. Laplace-operatoren anvendes bl.a. i [[partiel differentialligning|partielle differentialligninger]], [[vektoranalyse]], og [[teoretisk fysik|fysikteorier]] som [[elektromagnetisme]] og [[kvantemekanik]]. Laplace-operatoren er opkaldt efter den franske [[matematik|matematiker]] og [[astronomi|astronom]] [[Pierre-Simon Laplace]] ([[1749]]-[[1827]]).

== Laplace-operatoren i forskellige koordinatsystemer ==

=== To dimensioner ===
Laplace-operatoren er givet ved

:<math>\Delta f = \frac{\partial^2f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}</math>

hvor ''x'' og ''y'' er de almindelige [[kartesisk koordinatsystem|kartesiske koordinater]] af ''xy''-planet. Heraf ses, at Laplaceoperatoren af en funktion er det samme som [[divergens]]en af [[gradient]]en af samme funktion, hvoraf skrivemåderne ∇<sup>2</sup> og ∇·∇.

I '''polære koordinater'''

I et [[polært koordinatsystem]] er Laplace-operatoren givet ved
:<math>\begin{align}
 \Delta f 
&= {1 \over r} {\partial \over \partial r}
  \left( r {\partial f \over \partial r} \right) 
+ {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}\\
&= {\partial^2 f \over \partial r^2}
+{1 \over r} {\partial f \over \partial r}
+ {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}
.
\end{align} 
</math>

===Tre dimensioner===
I tre dimensioner er det almindeligt at arbejde med Laplace-operatoren i forskellige koordinatsystemer, og et bestemt koordinatsystem vælges ofte ud fra problemets form for at gøre beregningerne så simple som muligt.

I '''[[kartesisk koordinatsystem|kartesiske koordinater]]''':

:<math>
\Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}.
</math>

I '''[[cylindrisk koordinatsystem|cylindriske koordinater]]''':

:<math> \Delta f 
= {1 \over \rho} {\partial \over \partial \rho}
  \left(\rho {\partial f \over \partial \rho} \right) 
+ {1 \over \rho^2} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}
+ {\partial^2 f \over \partial z^2 }. 
</math>

I '''[[sfærisk koordinatsystem|sfæriske koordinater]]''':

:<math> \Delta f 
= {1 \over r^2} {\partial \over \partial r}
  \left(r^2 {\partial f \over \partial r} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta}
  \left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}.
</math>

== Se også ==
[[Nabla]] ∇ der benyttes som det symbolske grundlag.

{{Autoritetsdata}}
[[Kategori:Kvantemekanik]]
[[Kategori:Fysik]]
[[Kategori:Fourier analyse]]