Se kilde til Fuldstændigt metrisk rum

I [[matematisk analyse]] kaldes et [[metrisk rum]], ''M'', '''fuldstændigt''' (eller '''Cauchy'''), hvis enhver [[Cauchyfølge]] af punkter i ''M'' har en [[grænseværdi (matematik)|grænseværdi]], der også ligger i ''M''.

Intuitivt kan man betragte fuldstændige rum som rum, der ikke "mangler" punkter (i det indre eller på kanten). For eksempel er mængden af [[rationale tal]] ikke fuldstændigt, fordi <math>\sqrt{2}</math> "mangler" i rummet, selvom man kan konstruere en Cauchyfølge af rationale tal, der konvergerer mod det (se eksemplet nedenfor). Det er altid muligt at "udfylde hullerne", hvilket fører til begrebet ''fuldstændiggørelse'' af et givent rum.

== Eksempler ==
Rummet '''Q''' af [[rationale tal]] med den sædvanlige metrik (givet ved den [[absolut værdi|absolutte værdi]]), er ikke fuldstændigt. Betragt for eksempel er følgen defineret ved ''x''<sub>1</sub> := 1 og ''x''<sub>''n''+1</sub> := ''x''<sub>''n''</sub>/2 + 1/''x''<sub>''n''</sub>. Denne ses at være en Cauchyfølge af rationale tal, men den konvergerer ikke mod en rational grænse: En sådan grænse, ''x'', ville have den egenskab, at ''x''² = 2, men ingen rationale tal har denne egenskab (se [[irrationale tal]]). Betragtet som en følge af [[reelle tal]], vil følgen dog konvergere mod det irrationale tal <math>\sqrt{2}</math>, [[kvadratrod]]en af 2.

[[Interval (matematik)|Det åbne interval]] (0,1), igen med den sædvanlige metrik, er heller ikke fuldstændigt. Følgen (1/2, 1/3, 1/4, ...) er Cauchy, men den har ikke en grænseværdi i rummet. Omvendt er det lukkede interval [0,1] fuldstændigt, og følgen ovenfor har grænseværdien 0 i dette interval.

Rummet '''R''' af reelle tal og rummet '''C''' af [[komplekse tal]] (med metrikken givet ved absolutværdi hhv. kompleks modulus) er eksepmler på fuldstændige rum, og det samme er det [[euklidisk rum|euklidiske rum]] '''R'''<sup>''n''</sup>. Generelt kaldes et [[normeret vektorrum]], der er fuldstændigt, for et [[Banachrum]].

Rummet '''Q'''<sub>''p''</sub> af [[p-adisk tal|''p''-adiske tal]] er fuldstændigt for ethvert [[primtal]] ''p''. Rummet fuldstændiggør '''Q''' med den ''p''-adiske metrik på samme måde, som '''R''' fuldstændiggør '''Q''' med den sædvanlige metrik.

== Resultater og egenskaber ==
Ethvert [[kompakt rum|kompakt]] metrisk rum er fuldstændigt. Faktisk er et metrisk rum if. [[Heine-Borels sætning]] kompakt [[hvis og kun hvis]] det er fuldstændigt og [[prekompakt]].

En lukket delmængde af et fuldstændigt rum er selv fuldstændigt. Omvendt er en fuldstændig delmængde af et metrisk rum lukket.

Hvis ''X'' er en [[mængde]] og ''M'' er et fuldstændigt metrisk rum, er mængden B(''X'',''M'') af alle [[begrænset funktion|begrænsede funktioner]] ''f'' fra ''X'' til ''M'' et fuldstændigt metrisk rum. Her defineres metrikken i B(''X'',''M'') ved

:<math>d(f,g) := \sup\left\{\,d(f(x),g(x)) \mid x\in X \,\right\},</math>

for ''f'' og ''g'' i B(''X'',''M''). Hvis ''X'' er et [[topologisk rum]] og ''M'' er et fuldstændigt metrisk rum, er mængden C<sub>b</sub>(''X'',''M'') af [[kontinuert funktion|kontinuerte]] begrænsede funktioner ''f'' fra ''X'' til ''M'' et lukket underrum af B(''X'',''M'') og dermed fuldstændigt.

[[Baires kategorisætning]] siger, at ethvert fuldstændigt metrisk rum er et [[Bairerum]]. Det vil sige, at [[indre (topologi)|det indre]] af en [[foreningsmængde|forening]] af [[tællelig]]t mange [[intetsteds tæt]]te delmængder af rummet er [[den tomme mængde|tom]].

[[Kategori:Metrisk geometri]]